Le mouvement brownien en économie

Cinq ans avant la publication d’Einstein sur le mouvement brownien, Louis Bachelier avait développé une approche des fluctuations des cours de bourse en termes similaires. On peut en effet penser à une approche de marche aléatoire à chaque fois qu’une grandeur est soumise à l’action d’une multitude d’acteurs indépendants.
Cette thèse, oubliée pendant des décennies, et ressortie par Andreï Kolmogorov dans les années 1930, a été actualisée et modernisée dans les années 1970 par des économistes motivés par le développement des marchés financiers. Du reste, cette activité a fourni des emplois dans des officines financières à nombre de physiciens théoriciens dans les quinze dernières années ! Hubert Krivine détaille dans son article les différents aspects des heurs et malheurs des mathématiques financières.
Sans parler de la physique comme modèle de pensée « scientifique », plus modestement, les modèles de la physique ont souvent inspiré les économistes.

De ce point de vue, la physique statistique est particulièrement attirante : elle traite d’un grand nombre d’acteurs interagissant dont on peut oublier les déterminismes individuels pour ne s’intéresser qu’aux phénomènes collectifs.
Il y aurait alors une micro et une macroéconomie, articulées comme les physiques microscopique et macroscopique. Dans ce qui suit nous nous contenterons de montrer comment l’étude du mouvement brownien a été historiquement utilisée en finances.

Le pionnier incontestable des mathématiques financières modernes est Louis Bachelier qui soutient en 1900 sa thèse avec Poincaré dans le jury. Ce qui est remarquable est que Bachelier va s’attaquer à ce qui sera la théorie du mouvement brownien développée cinq ans plus tard par Einstein.
Pour une fois, paradoxalement, c’est la physique qui aurait pu s’inspirer des théories financières !

De fait, malgré son prestigieux patronage, les travaux de Bachelier sont restés méconnus. Justice lui sera rendue trente ans plus tard par le mathématicien soviétique Kolmogorov et surtout par la mise sur le marché en 1973 du modèle de Black et Scholes (prix Nobel d’économie en 1997).
Ce modèle, fondamentalement inspiré de l’approche de Bachelier, va connaître un développement foudroyant à partir des années quatre-vingts. Son objectif était attirant (optimiser la politique d’investissement) et son utilisation très simple. Aussi, pratiquement tous les agents financiers vont l’utiliser avec enthousiasme dans le monde.
Et ce jusqu’au krach boursier de 1998, précédé par la faillite retentissante en 1997 du fonds LTCM (Long Term Capital Management) conseillé par... Scholes. Cette utilisation continue, mais sans l’enthousiasme des débuts.

Nous allons d’abord expliquer l’approche de Bachelier, montrer ensuite comment elle va bien au-delà des problèmes de la spéculation boursière. Nous en montrerons ensuite les limites dans le cas des calculs financiers. Nous reviendrons en conclusion sur les leçons de ce modèle.

Une ressemblance troublante
Que peuvent avoir en commun le mouvement brownien et les cours de la Bourse ?

On sait que le mouvement de la particule brownienne est causé par les chocs désordonnés des molécules d’eau. On peut, sans entrer dans le détail de ces chocs (remplacés par une température) rendre compte du mouvement de la particule, d’un point de vue statistique. De la même façon, la valeur actuelle d’une action est la somme de ses fluctuations passées, causées par les nombreux ordres de vente et d’achat. Le parallélisme est tentant.

 


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